応用情報/超分かりやすく】標本化定理【新感覚Study

【応用情報/超分かりやすく】標本化定理【新感覚Study】

2024.06.29 2024.06.23

アバンタイトル
はじめに
おわりに

アバンタイトル

IT分野は範囲がとても広いです。そのため、過去問を解いていると１ページに何個も理解できない単語が出てきます。それを一気に理解しようとするのはとても骨が折れるし、やる気も続きません。

しかし、そんな時は１周まわって１つのことに徹底集中してみるのはどうでしょうか？覚えなきゃいけないことが沢山あると、終わりが見えずモチベーションが続きません。

でも、「今日はこの１つをマスターしよう！」と１つにフォーカスすればゴールが見えて、集中力も続くようになります。また、一点集中型なので理解力も深まり応用も効くようになります。

ということで、当サイトでは１点集中をコンセプトに解説を展開しています。勉強法が定まっていなかったり悩んでいる方は是非、続きをご覧になってみてはいかかでしょうか？

はじめに

今回も中二病心ちゅうにびょうごころを刺激するワードを取り扱います。それが標本化定理（ナイキストの定理）です。

この用語ってなんか、カッコいいですよね？
ということで皆さんも、今回学ぶこのフレーズに対しては、「難しそー」とか「役に立つの？」といった思考は一旦おいといて「ただかっこいいから知りたい！」というシンプルな思考でStudyしていってほしいです。

そのためにこの記事では、初心者にも超分かりやすく解説していきます。ただの試験対策、ただの退屈な勉強、という感覚ではなく、「知識として知っていたらなんかカッコいいから」という軽い気持ちでStudyしていきましょう！また、この記事はだれでも読み進められる構成になっているので、最後まで楽に進めます。そして、読み終わった頃には、「あれ？知らぬ間に理解が深まっているぞ」ということに気づくでしょう。それでは、一緒に学んでいきましょう！そして、「勉強しなきゃ！」という義務感ではなく「かっこいいから知りたい！」という単純な理由で楽しみながらStudyしていきましょう！

【ここで扱う疑問】

標本化定理を簡単にいうと？

標本化定理（ナイキストの定理）は、アナログ信号をデジタル信号に変換する際に重要な概念です。この定理は、正確なデジタル表現を得るための最小サンプリング周波数を定めています。

標本化定理（ナイキストの定理）は次のように述べられます：

「アナログ信号をデジタル化するためには、その信号の最大周波数の2倍以上のサンプリング周波数でサンプリングする必要がある。」

この最大周波数の2倍の周波数をナイキスト周波数と呼びます。

よくある勘違い

最大周波数と聞くと、波の高低におけるもっとも大きなところをイメージしてしまいますよね？しかし、それは間違いです。

最高周波数とは、「1秒間での波の回数が最も多いところ」を指します。これは、信号の中で最も速く変化する成分を意味します。例えば、音声信号の場合、高音成分がその信号の最高周波数となることが多いです。

なんで２倍以上なの？

標本化定理（ナイキストの定理）では、アナログ信号をデジタル信号に変換する際に、その信号の最高周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要とされています。

その理由を一言でいうと「1周期に少なくとも2点のサンプリングポイントが必要だから」です。

具体的な理由

1周期内に最低2点が必要:
- 波の1周期には、波が上昇する部分（山）と下降する部分（谷）が含まれています。これを正確に捉えるためには、最低でも山と谷の2点が必要です。
- サンプリング周波数が信号の最高周波数の2倍であれば、1周期内に2点のサンプリングが可能になります。逆に、１周期内に２未満だと山と谷のどちらか１つしかサンプリングができなくなってしまます。
エイリアシングの防止:
- サンプリング周波数が不十分（最高周波数の2倍未満）だと、波の形を正確に捉えることができず、異なる周波数成分が同じデジタル値にマッピングされるエイリアシングが発生します。これにより、元の信号が正確に再現できなくなります。

要するに…

波の山と谷を合わせて2点を捉えるために、サンプリング周波数は信号の最高周波数の2倍必要です。これにより、信号の形を正確に再現し、エイリアシングを防ぐことができます。この考え方は、音声や画像などのデジタル信号処理において非常に重要です。

豆知識：なんで、CDは44.1kHzなの？

では、さいごにここまでの学習に関連した豆知識を紹介します。

人間の耳が聞こえる音の範囲は約20 Hzから20,000 Hz（20 kHz）です。この信号をデジタル化するには、最大周波数の2倍以上、つまり40,000 Hz（40 kHz）以上のサンプリング周波数が必要です。CDの音質が44.1 kHzなのは、この理由からです。

リンク

まとめ

標本化定理でサンプリング周波数が信号の最高周波数の2倍以上必要とされる理由は、エイリアシングを防ぐためです。2倍以上のサンプリング周波数でサンプリングすることで、元のアナログ信号を正確にデジタル信号として表現し、後にアナログ信号に戻す際にも正確な再現が可能になります。この理解は、信号処理や通信工学などの応用において非常に重要です。