#『線形計画法』（有限資源を最大活用）をパパっと計算できるようになる！

はじめに

テンプレ問題

表のような製品A,B,を製造、販売する場合、考えられる営業利益は最大で何円になるか？ここで、機械の年間使用可能時間は延べ15,000時間とし、年間の固定費は製品A、Bに関係なく15,000,000円とする。

製品	販売単価	1個あたり販売変動費	1個あたり製造時間
A	30,000円	18,000円	8時間
B	25,000円	10,000円	12時間

この問題は、製品AとBの生産と販売に関する営業利益を最大化するために、生産量や使用可能な時間を考慮して計算する必要があります。

1. 営業利益を求めるための基本的な考え方

営業利益は以下の式で求められます。

\( 営業利益=売上高−変動費−固定費 \)

ここで、売上高は販売単価と販売数量の掛け算、変動費は1個あたりの販売変動費と販売数量の掛け算です。さらに、製品ごとに使える時間の制約があるため、それも考慮します。

2. 製品A、Bの1時間あたりの利益率（貢献利益）を求める

貢献利益は、1つの商品を作ることで得られる利益( 販売単価 – 変動費 )です。

製品Aの貢献利益

\( 製品Aの貢献利益=30,000円−18,000円=12,000円 \)

1個の製品Aを作るのに8時間かかるので、1時間あたりの利益は次のようになります。

\({製品Aの1時間あたりの利益} = \frac{12,000円}{8時間} = 1,500円/{時間}\)

製品Bの貢献利益

\( 製品Bの貢献利益=25,000円−10,000円=15,000円 \)

1個の製品Bを作るのに12時間かかるので、1時間あたりの利益は次のようになります。

\({製品Bの1時間あたりの利益} = \frac{15,000円}{12時間} = 1,250円/{時間}\)

3. 利益最大化のための生産配分

1時間あたりの利益が大きいのは製品A（1,500円/時間）なので、限られた15,000時間はすべて製品Aの生産に使うのが最も利益を最大化する方法です。

4. 最大営業利益の計算

製品Aの生産数

1個の製品Aを作るのに8時間かかるので、15,000時間で作れる製品Aの個数は次のように計算できます。

$$\frac{15,000時間}{8時間} = 1,875個$$

売上高、変動費、固定費の計算

• 製品Aの売上高:

$$30,000円（販売費） \times 1,875個（個数）= 56,250,000円$$

• 製品Aの変動費:

$$18,000円（変動費） \times 1,875個（個数）= 33,750,000円$$

• 固定費: 15,000,000円（問題に与えられている）

営業利益の計算

$$営業利益=売上高−変動費−固定費$$

\(営業利益=56,250,000円−33,750,000円−15,000,000円=7,500,000円\)

5. 結論

製品Aを15,000時間で最大限生産した場合、営業利益は最大で7,500,000円となります。

確認問題:

製品Xと製品Yを製造・販売する場合に、考えられる営業利益は最大で何円になるかを求めなさい。個々で、機械の年間使用可能時間は延べ20,000時間とし、年間の固定費は製品X、Yに関係なく20,000,000円とする。

製品	販売単価	1個あたり販売変動費	1個あたり製造時間
X	50,000円	30,000円	10時間
Y	40,000円	20,000円	15時間

条件

• 製品X、Yのどちらを何個生産してもよい。
• 営業利益を最大化する生産計画を立ててください。

1. 単位時間当たりの利益を比較

まず、製品Xと製品Yの1時間あたりの利益を計算します。

製品X

\( 製品Xの貢献利益=50,000円−30,000円=20,000円 \)

1個の製品Xを作るのに10時間かかるので、1時間あたりの利益は次のようになります。

\({製品Xの1時間あたりの利益} = \frac{20,000円}{10時間} = 2,000円/{時間}\)

製品Y

\( 製品Yの貢献利益=40,000円−20,000円=20,000円 \)

1個の製品Yを作るのに15時間かかるので、1時間あたりの利益は次のようになります。

\({製品Yの1時間あたりの利益} = \frac{20,000円}{15時間} = 1,333円/{時間}\)

この比較から、製品Xの方が1時間あたりの利益が大きい（2,000円/時間）ため、製品Xを生産するのが利益を最大化する方法です。

2. 最大生産個数

次に、製品Xを使える20,000時間すべてを使って最大何個作れるかを計算します。

$$\frac{20,000時間}{10時間} = 2,000個$$

3. 売上高・変動費・固定費の計算

• 製品Xの売上高:

$$50,000円（販売費） \times 2,000個（個数）= 100,000,000円$$

• 製品Xの変動費:

$$30,000円（変動費） \times 2,000個（個数）= 60,000,000円$$

• 固定費: 20,000,000円（問題に与えられている）

4. 売上高ー変動費ー固定費＝売上利益を算出

年間の固定費20,000,000円を差し引いた最終的な営業利益は次の通りです。40,000,000円−20,000,000円=20,000,000円40,000,000円 – 20,000,000円 = 20,000,000円40,000,000円−20,000,000円=20,000,000円

$$営業利益=売上高−変動費−固定費$$

\(営業利益=100,000,000円−60,000,000円−20,000,000円=,20,000,000円\)

結論

製品Xを2,000個生産した場合、営業利益は最大で20,000,000円となります。

まとめ

要するに…

おわりに